마르코프 체인(Markov chain)은 확률론과 통계학에서 사용되는 모델로, 시스템의 상태가 이전 상태에만 의존하는 이산 시간 확률 과정이다. 이러한 과정은 "마르코프 성질(Markov property)"을 가지며, 이는 미래 상태가 오직 현재 상태에만 의존하고, 과거 상태는 고려하지 않는다는 것을 의미한다. 쉽게 말해, 현재 상태를 알고 있다면 과거 정보는 미래 예측에 도움이 되지 않는다. 마르코프 체인은 다음과 같은 요소로 구성된다. 상태(state) 시스템이 가질 수 있는 가능한 모든 상태의 집합이다. 예를 들어, 날씨 예측 시스템에서 상태는 '맑음', '흐림', '비', '눈' 등이 될 수 있다. 전이 확률(transition probability) 한 상태에서 다른 상태로 전이할 확률을 나타낸..

선형성(linearity)은 함수나 변환의 특정 속성을 나타낸다. 선형 함수 또는 선형 변환은 두 가지 기본적인 성질을 만족해야 한다. 이러한 성질은 중첩의 원리(superposition principle)라고도 한다. 덧셈에 대한 동차성(Homogeneity with respect to addition) 선형성이 있는 함수 f에 대해, 두 벡터 u와 v에 대해 f(u+v) = f(u) + f(v)가 성립한다. 이 성질은 함수가 벡터의 합에 대해 분배되는 것을 의미한다. $f(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$ 스칼라 곱에 대한 동차성(Homogeneity with respect to scalar multiplication) 선형성이 있는 ..

무효차수(nullity)는 선형 대수학에서 사용되는 개념으로, 주어진 행렬의 영공간(null space)의 차원을 나타낸다. 다시 말해, 무효차수는 행렬을 선형 변환으로 취급했을 때 변환된 결과가 영벡터가 되는 모든 입력 벡터들의 집합인 영공간의 크기를 나타내는 값이다. 무효차수는 행렬의 특성을 분석하고, 선형 시스템의 해가 존재하는지 여부를 판별할 때 유용한 정보를 제공한다. 무효차수가 0인 경우, 행렬은 영공간에 오직 영벡터만을 가지므로, 선형 시스템은 유일한 해를 가진다. 반면 무효차수가 양수인 경우, 영공간은 영벡터 이외의 벡터들도 포함하므로, 선형 시스템은 해가 없거나 무수히 많은 해를 가질 수 있다. 무효차수와 랭크(rank) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다. 랭크-무효차수 정리(Rank-N..

랭크(rank)는 행렬의 열 벡터들이나 행 벡터들의 선형 독립성을 측정하는 값이다. 보다 구체적으로, 행렬의 랭크는 다음과 같은 두 가지 관점에서 정의된다. 열 랭크(Column rank): 행렬의 열 벡터들 중 선형 독립인 벡터들의 최대 개수를 의미한다. 다시 말해, 열 랭크는 행렬의 열 벡터들로부터 생성되는 열 공간의 차원을 나타낸다. 행 랭크(Row rank): 행렬의 행 벡터들 중 선형 독립인 벡터들의 최대 개수를 의미한다. 다시 말해, 행 랭크는 행렬의 행 벡터들로부터 생성되는 행 공간의 차원을 나타낸다. 행렬의 랭크는 행렬이 얼마나 다양한 정보를 포함하고 있는지에 대한 척도로 사용된다. 높은 랭크를 가진 행렬은 더 많은 선형 독립한 정보를 포함하고 있어, 더 많은 자유도를 가진다. 반면 낮은 ..

이 각각의 공간들은 선형대수에서 행렬의 속성을 분석하는 데 사용되며, 각각 다른 관점에서 행렬을 이해할 수 있게 도와준다. 행공간(Row space) 행공간은 행렬의 행 벡터들로 구성된 공간이다. 즉, 행렬의 모든 행 벡터들의 선형 조합으로 얻을 수 있는 모든 벡터들의 집합이 행공간이다. 행공간은 주로 선형 방정식 시스템에서 가능한 해들의 공간을 나타낸다. 수식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\text{Col}(A) = \{ x \in \mathbb{R}^m : x = Ay \text{ for some } y \in \mathbb{R}^n \}$ 열공간(Column space) 열공간은 행렬의 열 벡터들로 구성된 공간이다. 즉, 행렬의 모든 열 벡터들의 선형 조합으로 얻을 수 있는 모든 벡터들의 ..

생성(span)은 벡터 집합에서 가능한 모든 선형 조합으로 생성되는 벡터 공간의 부분 공간(Subspace)을 의미한다. 다시 말해, 주어진 벡터 집합의 모든 선형 조합으로 만들 수 있는 벡터의 집합이 그 벡터 집합의 스팬이다. 이를 통해 벡터 집합이 어떤 벡터 공간의 어떤 부분을 형성하는지 파악할 수 있다. 스팬을 이해하려면 먼저 선형 조합의 개념을 알아야 한다. 벡터 집합의 선형 조합은 각 벡터에 스칼라 계수를 곱한 후 그 결과들을 더한 것이다. 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있다. $c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n$ 여기서 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$은 ..

기저(Basis)는 벡터 공간의 구조를 설명하는 데 사용되는 중요한 개념이다. 기저는 선형 독립인 벡터들의 집합으로 구성되며, 이 기저를 통해 벡터 공간의 모든 벡터를 생성할 수 있다. 기저의 개수가 벡터 공간의 차원을 결정한다. 기저를 이해하려면 다음과 같은 성질을 충족하는 벡터들의 집합을 찾아야 한다. 선형 독립성(Linearly independent) 기저 벡터들은 서로 선형 독립이어야 한다. 이는 어떤 기저 벡터도 다른 기저 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 없다는 것을 의미한다. $\text{If } c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0 \text{, then } c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$ 생성(Span) 기저 벡터들은 벡터 공간의 모든 벡터를 생성..

선형 독립(Linear Independence)과 선형 종속(Linear Dependence)은 벡터들이 서로 어떤 관계에 있는지를 나타내는 개념이다. 이 개념들은 기저, 차원, 벡터 공간 등과 같은 선형 대수학의 중요한 주제들과 관련이 있다. 먼저, 선형 조합(Linear Combination)의 개념을 이해해야 한다. 벡터들의 선형 조합은 각 벡터에 스칼라를 곱한 후 더하는 것을 의미한다. 예를 들어, 벡터들 $v_1, v_2, ..., v_n$에 대해 스칼라 값들 $c_1, c_2, ..., c_n$을 곱하고 더한 것은 다음과 같다. $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n$ 선형 독립(Linear Independence) 벡터들이 선형 독립이라는 것은 이 벡터들이 서로 선형 관계에..