무효차수(nullity)는 선형 대수학에서 사용되는 개념으로, 주어진 행렬의 영공간(null space)의 차원을 나타낸다. 다시 말해, 무효차수는 행렬을 선형 변환으로 취급했을 때 변환된 결과가 영벡터가 되는 모든 입력 벡터들의 집합인 영공간의 크기를 나타내는 값이다.
무효차수는 행렬의 특성을 분석하고, 선형 시스템의 해가 존재하는지 여부를 판별할 때 유용한 정보를 제공한다. 무효차수가 0인 경우, 행렬은 영공간에 오직 영벡터만을 가지므로, 선형 시스템은 유일한 해를 가진다. 반면 무효차수가 양수인 경우, 영공간은 영벡터 이외의 벡터들도 포함하므로, 선형 시스템은 해가 없거나 무수히 많은 해를 가질 수 있다.
무효차수와 랭크(rank) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
랭크-무효차수 정리(Rank-Nullity Theorem)
행렬 A의 랭크와 무효차수의 합은 행렬의 열 개수와 같다.
$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = \text{number of columns of } A$
이 정리는 행렬의 열 개수를 기준으로 랭크와 무효차수가 어떻게 분배되는지 설명해주며, 선형 시스템의 해의 유무와 관련된 중요한 정보를 제공한다.
