생성(span)은 벡터 집합에서 가능한 모든 선형 조합으로 생성되는 벡터 공간의 부분 공간(Subspace)을 의미한다. 다시 말해, 주어진 벡터 집합의 모든 선형 조합으로 만들 수 있는 벡터의 집합이 그 벡터 집합의 스팬이다. 이를 통해 벡터 집합이 어떤 벡터 공간의 어떤 부분을 형성하는지 파악할 수 있다.
스팬을 이해하려면 먼저 선형 조합의 개념을 알아야 한다. 벡터 집합의 선형 조합은 각 벡터에 스칼라 계수를 곱한 후 그 결과들을 더한 것이다. 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
$c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n$
여기서 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$은 벡터 집합의 벡터들이고, $c_1, c_2, \dots, c_n$은 스칼라 계수이다.
스팬은 다음과 같이 정의된다.
$\text{span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n) = \{c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n : c_1, c_2, \dots, c_n \in \mathbb{R} \}$
스팬의 개념은 선형대수에서 매우 중요하다. 기저 벡터의 스팬은 벡터 공간을 형성하기 때문이다. 기저 벡터들은 선형 독립이고, 그들의 선형 조합으로 벡터 공간의 모든 벡터를 생성할 수 있다. 따라서 기저 벡터들의 스팬은 주어진 벡터 공간과 같다.
예를 들어, 2차원 평면에서 가장 일반적인 기저 벡터 집합은 다음과 같다.
\(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
이 벡터들은 서로 선형 독립이며, 이들의 선형 조합으로 2차원 평면 상의 모든 점을 생성할 수 있다. 따라서 이들의 스팬은 2차원 벡터 공간이다.
