랭크(rank)는 행렬의 열 벡터들이나 행 벡터들의 선형 독립성을 측정하는 값이다. 보다 구체적으로, 행렬의 랭크는 다음과 같은 두 가지 관점에서 정의된다.
- 열 랭크(Column rank): 행렬의 열 벡터들 중 선형 독립인 벡터들의 최대 개수를 의미한다. 다시 말해, 열 랭크는 행렬의 열 벡터들로부터 생성되는 열 공간의 차원을 나타낸다.
- 행 랭크(Row rank): 행렬의 행 벡터들 중 선형 독립인 벡터들의 최대 개수를 의미한다. 다시 말해, 행 랭크는 행렬의 행 벡터들로부터 생성되는 행 공간의 차원을 나타낸다.
행렬의 랭크는 행렬이 얼마나 다양한 정보를 포함하고 있는지에 대한 척도로 사용된다. 높은 랭크를 가진 행렬은 더 많은 선형 독립한 정보를 포함하고 있어, 더 많은 자유도를 가진다. 반면 낮은 랭크를 가진 행렬은 선형 종속적인 정보가 많아, 자유도가 제한적이다.
랭크의 개념은 선형 시스템의 해를 찾거나, 행렬의 역행렬을 계산할 때 중요한 역할을 한다. 랭크가 행렬의 행 개수와 열 개수 중 작은 값과 같으면, 행렬은 "full rank"로 간주되며, 선형 시스템에 대해 유일한 해를 찾을 수 있다. 반면 랭크가 작은 행렬은 선형 시스템에 대해 해가 없거나, 무수히 많은 해가 존재할 수 있다.
랭크를 계산하는 방법 중 하나는 행렬을 가우스 소거법(Gaussian elimination)을 사용하여 사다리꼴 행렬(row echelon form)로 변환한 후, 영이 아닌 행의 개수를 세는 것이다. 사다리꼴 행렬에서 영이 아닌 행의 개수가 바로 행렬의 랭크가 된다. 흥미로운 점은 행 랭크와 열 랭크는 항상 같다는 것이다. 이를 랭크-정리(rank theorem)라고 한다.
