이 각각의 공간들은 선형대수에서 행렬의 속성을 분석하는 데 사용되며, 각각 다른 관점에서 행렬을 이해할 수 있게 도와준다.
행공간(Row space)
행공간은 행렬의 행 벡터들로 구성된 공간이다. 즉, 행렬의 모든 행 벡터들의 선형 조합으로 얻을 수 있는 모든 벡터들의 집합이 행공간이다. 행공간은 주로 선형 방정식 시스템에서 가능한 해들의 공간을 나타낸다. 수식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\text{Col}(A) = \{ x \in \mathbb{R}^m : x = Ay \text{ for some } y \in \mathbb{R}^n \}$
열공간(Column space)
열공간은 행렬의 열 벡터들로 구성된 공간이다. 즉, 행렬의 모든 열 벡터들의 선형 조합으로 얻을 수 있는 모든 벡터들의 집합이 열공간이다. 열공간은 주로 선형 변환을 적용한 후 얻어지는 공간을 나타낸다. 수식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\text{Col}(A) = \{ x \in \mathbb{R}^m : x = Ay \text{ for some } y \in \mathbb{R}^n \}$
영공간(Null space)
영공간은 행렬을 선형 변환으로 취급했을 때, 변환된 결과가 영벡터가 되는 모든 입력 벡터들의 집합이다. 이 공간은 행렬의 특정한 속성을 분석하고, 선형 시스템의 해가 존재하는지 여부를 판별할 때 사용된다. 수식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\text{Null}(A) = \{ x \in \mathbb{R}^n : Ax = 0 \}$
이를 직관적으로 이해하는 방법은, 어떤 벡터들이 행렬에 의해 "사라지는" 공간에 있는지를 나타내는 것으로 생각할 수 있다.
예를 들어 2차원 평면에서 다음과 같은 행렬을 생각해보면,
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 6 \\
\end{bmatrix}
$$
이 행렬에 의해 영벡터로 변환되는 모든 입력 벡터들의 집합입니다. 이 행렬의 경우, A * [2, -1] = [0, 0]이므로 [2, -1]와 같은 벡터가 영공간에 속한다.
행공간, 열공간, 영공간은 행렬의 성질과 관련된 서로 다른 측면을 나타내며, 이를 통해 선형 방정식의 해, 선형 변환의 특성 및 행렬의 기하학적 해석 등에 대해 이해할 수 있다.
