라플라스 변환(Laplace transform)은 주로 미분 방정식의 해를 찾거나 시스템의 안정성을 분석하는 데 사용되는 수학적 기법이다. 라플라스 변환은 시간 영역의 함수를 복소 주파수 영역의 함수로 변환한다. 이를 통해 시간 영역에서 다루기 어려운 미분 방정식 문제를 주파수 영역에서 쉽게 해결할 수 있다. 라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다. 주어진 시간 영역의 함수 $f(t)$에 대해, 라플라스 변환 $\mathcal{L}{f(t)}$는 다음과 같이 표현할 수 있다. $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$ 라플라스 변환은 선형 시스템의 해를 구하는 데 유용하며, 라플라스 변환을 사용하면 시간 영역에서의 미분 연산이 ..

테일러 급수(Taylor series)는 주어진 미분 가능한 함수를 무한 급수로 근사하는 방법이다. 테일러 급수는 함수의 근사와 관련된 많은 정보를 제공하며, 함수의 성질을 이해하는 데 도움이 된다. 함수 $f(x)$가 어떤 점 $x=a$에서 무한 번 미분 가능하다고 가정해보자. 이때, 테일러 급수는 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$ 테일러 급수를 이용해 함수를 점 $a$ 주변에서 근사할 수 있다. 일반적으로 테일러 급수의 차수가 높아질수록, 함수와의 근사 정확도도 증가한다. 예를 들어, $e^x$ 함수의 테일러 급수는 다음과 같다. $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}..

그래디언트(gradient)는 다변수 함수에서 각 변수에 대한 편미분을 벡터로 표현한 것이다. 그래디언트는 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 나타내며, 이를 통해 함수의 최소값 또는 최대값을 찾는 데 사용된다. 예를 들어, 두 변수 $x$와 $y$에 대한 함수 $f(x, y)$가 있다고 가정하면, 이 함수의 그래디언트는 다음과 같이 정의된다. $\nabla f(x, y)$ = \begin{bmatrix} \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \\ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \end{bmatrix} 이 그래디언트 벡터는 함수 $f(x, y)$의 각 점 $(x, y)$에서의 기울기를 나타낸다. 편미분을 벡터의 형태인 그래디언트로 굳이 표현하는..

미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 말하며, 이와 반대되는 개념은 여러 변수에 대한 함수를 편미분 하는 형식을 취하는 편미분 방정식(Partial Differential Equation, PDE)이라고 한다. 선형 상미분 방정식(Linear Ordinary Differential Equation) ${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$ 제차 선형 상미분 방정식(Homogeneous Linear Ordinary Differential Equation): 위의 식에서 초항 $r(x) = 0$인 경우 비제차 선형 상미분 방정식(Non-homogeneous Linear Ordinary Dif..