선형성(Linearity)

선형성(linearity)은 함수나 변환의 특정 속성을 나타낸다. 선형 함수 또는 선형 변환은 두 가지 기본적인 성질을 만족해야 한다. 이러한 성질은 중첩의 원리(superposition principle)라고도 한다.

 

덧셈에 대한 동차성(Homogeneity with respect to addition)

선형성이 있는 함수 f에 대해, 두 벡터 u와 v에 대해 f(u+v) = f(u) + f(v)가 성립한다. 이 성질은 함수가 벡터의 합에 대해 분배되는 것을 의미한다.

 

$f(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$

 

스칼라 곱에 대한 동차성(Homogeneity with respect to scalar multiplication)

선형성이 있는 함수 f에 대해, 벡터 v와 스칼라 a에 대해 f(av) = af(v)가 성립한다. 이 성질은 함수가 스칼라 곱에 대해 분배되는 것을 의미한다.

 

$f(a\mathbf{v}) = a f(\mathbf{v})$

 

 

함수 f가 위의 두 가지 성질을 모두 만족하면, f는 선형 함수라고 할 수 있다. 선형 함수는 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다.

 

$f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$