고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)는 선형 변환에서 중요한 개념이다. 주어진 선형 변환(행렬) $A$에 대해, 변환을 적용한 후에도 방향이 변하지 않고 크기만 변하는 벡터를 고유벡터라고 한다. 이때, 그 크기의 변화 비율을 고유값이라고 한다.
수학적으로, 행렬 $A$와 벡터$x$에 대해 다음과 같은 관계가 성립하면, $x$는 고유벡터이고, $\lambda$는 고유값이다.
\(Ax = \lambda x\)
이 방정식에서 행렬$A$는 주어진 선형 변환을 나타내며, $x$는 고유벡터, $\lambda$는 고유값이다.
이 문제를 풀기 위해, 다음 식을 만족하는 $\lambda$와 $x$를 찾아야 한다.
\( (A - \lambda I)x = 0 \)
여기서 $I$는 항등행렬(identity matrix)이다. 이 방정식을 만족하는 $\lambda$와 $x$를 찾으면, 고유값과 고유벡터를 구할 수 있다.
고유값과 고유벡터는 주어진 행렬의 특성을 이해하는 데 도움이 되며, 많은 분야에서 활용된다. 예를 들어, 공간의 차원 축소(PCA), 시스템 안정성 분석, 그래프 분석, 이미지 프로세싱 등에서 활용된다.
