그래디언트(gradient)는 다변수 함수에서 각 변수에 대한 편미분을 벡터로 표현한 것이다. 그래디언트는 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 나타내며, 이를 통해 함수의 최소값 또는 최대값을 찾는 데 사용된다.
예를 들어, 두 변수 $x$와 $y$에 대한 함수 $f(x, y)$가 있다고 가정하면, 이 함수의 그래디언트는 다음과 같이 정의된다.
$\nabla f(x, y)$ = \begin{bmatrix} \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \\ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \end{bmatrix}
이 그래디언트 벡터는 함수 $f(x, y)$의 각 점 $(x, y)$에서의 기울기를 나타낸다.
편미분을 벡터의 형태인 그래디언트로 굳이 표현하는 이유는 아래와 같다.
- 방향 정보 제공: 편미분 벡터(그래디언트)는 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 나타낸다. 이 방향 정보를 이용해 함수의 최소값 또는 최대값을 찾는 최적화 알고리즘을 개발할 수 있다.
- 표현의 간결성: 벡터 표현은 함수의 미분 정보를 간결하고 명확하게 표현할 수 있다. 벡터 표현을 사용하면 여러 변수에 대한 편미분을 한 번에 표현할 수 있으며, 연산을 더 쉽게 수행할 수 있다.
- 벡터 연산의 활용: 편미분을 벡터로 표현하면, 벡터 연산을 통해 최적화 문제를 더 효율적으로 해결할 수 있다. 예를 들어, 경사하강법에서 그래디언트를 이용해 파라미터를 업데이트할 때 벡터 뺄셈과 스칼라 곱셈을 사용할 수 있다.
- 기하학적 해석: 편미분 벡터를 사용하면 함수의 기울기와 관련된 정보를 기하학적으로 해석할 수 있다. 이를 통해 머신러닝 및 딥러닝 모델의 최적화 과정을 더 직관적으로 이해할 수 있다.
따라서, 편미분을 벡터로 표현하는 것은 방향 정보를 제공하고, 표현의 간결성과 벡터 연산의 활용을 가능하게 하며, 기하학적 해석을 쉽게 할 수 있어 최적화 문제에 있어 유용한 방법이다.
그래디언트는 최적화 문제에서 경사하강법(Gradient Descent) 알고리즘에 활용되며, 손실 함수를 최소화하는 파라미터를 찾는 데 사용된다.
