테일러 급수(Taylor series)는 주어진 미분 가능한 함수를 무한 급수로 근사하는 방법이다. 테일러 급수는 함수의 근사와 관련된 많은 정보를 제공하며, 함수의 성질을 이해하는 데 도움이 된다.
함수 $f(x)$가 어떤 점 $x=a$에서 무한 번 미분 가능하다고 가정해보자. 이때, 테일러 급수는 다음과 같이 정의된다.
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$
테일러 급수를 이용해 함수를 점 $a$ 주변에서 근사할 수 있다. 일반적으로 테일러 급수의 차수가 높아질수록, 함수와의 근사 정확도도 증가한다.
예를 들어, $e^x$ 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
테일러 급수는 많은 분야에서 중요한 도구로 사용되며, 함수의 근사, 미적분, 미분 방정식 해법 등에서 활용된다.
