라플라스 변환(Laplace transform)은 주로 미분 방정식의 해를 찾거나 시스템의 안정성을 분석하는 데 사용되는 수학적 기법이다. 라플라스 변환은 시간 영역의 함수를 복소 주파수 영역의 함수로 변환한다. 이를 통해 시간 영역에서 다루기 어려운 미분 방정식 문제를 주파수 영역에서 쉽게 해결할 수 있다.
라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다. 주어진 시간 영역의 함수 $f(t)$에 대해, 라플라스 변환 $\mathcal{L}{f(t)}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$
라플라스 변환은 선형 시스템의 해를 구하는 데 유용하며, 라플라스 변환을 사용하면 시간 영역에서의 미분 연산이 주파수 영역에서의 곱셈으로 변환되기 때문에 미분 방정식을 보다 쉽게 해결할 수 있다.
또한 라플라스 변환의 역변환을 사용하여 주파수 영역에서 얻은 해를 다시 시간 영역으로 변환할 수 있다. 라플라스 역변환은 다음과 같이 정의된다.
$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s) e^{st} \, ds$
라플라스 변환은 미분 방정식, 제어 이론, 신호 처리, 시스템 모델링 등 다양한 분야에서 활용되는 중요한 수학적 도구다.
