이동평균(Moving Average, MA) 모델

이동평균(Moving Average, MA) 모델은 시계열 분석에서 사용되는 모델 중 하나로, 현재 시점의 오차와 과거 시점의 오차의 가중합으로 시계열 데이터를 설명하는 모델이다. MA 모델은 백색잡음(White noise)이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 설명하는 데 사용되며, 이를 통해 시계열 데이터의 패턴을 분석할 수 있다.

$q$차 이동평균 모델(MA(q))은 다음과 같은 형태를 가진다.

 

$y_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}$

 

여기서 $y_t$는 시점 $t$에서의 관측값, $\epsilon_t$는 시점 $t$에서의 백색잡음, 그리고 $\theta_i$는 $i$번째 이동평균 계수를 나타낸다. 이때, 백색잡음은 평균이 0이고 일정한 분산을 가지는 독립적인 오차항을 의미한다.

 

MA 모델은 다음과 같은 특징을 가진다.

• 시계열 데이터의 잡음을 포착하는 데 유용하다.
• 이론적으로 정상성을 만족한다. 즉, 시간에 따라 평균과 분산이 일정하게 유지된다.
• 과거의 백색잡음에만 의존하며, 과거의 실제 값에는 영향을 받지 않는다.

MA 모델은 자기회귀모델(AR)과 함께 자기회귀이동평균모델(ARMA) 또는 자동회귀누적이동평균모델(ARIMA)을 구성하는 데 사용된다. 이러한 조합은 시계열 데이터의 다양한 패턴을 포착하는 데 더 강력한 모델링 능력을 제공한다. 예를 들어, 시계열 데이터의 자기상관(autocorrelation) 및 부분자기상관(partial autocorrelation)을 분석하여 적절한 AR 및 MA 차수를 선택하고, 이를 기반으로 ARMA 또는 ARIMA 모델을 구축할 수 있다.