공적분(cointegration)은 시계열 데이터 분석에서 중요한 개념으로, 두 개 이상의 시계열 데이터가 공통적인 장기 추세를 공유할 때 발생한다. 이는 단기적인 시간에 따른 변동성에도 불구하고 시계열 변수들이 장기적으로 평형 관계를 유지하게 된다. 공적분은 금융, 경제학, 환경 과학 등 다양한 분야에서 활용되며, 시계열 변수들 간의 장기적인 관계를 검증하고 예측 모델을 구축하는 데 도움이 된다.
공적분을 이해하려면 먼저 단위근(Unit root) 개념에 대해 알아야 한다. 단위근이 있는 시계열 데이터는 정상성(Stationarity)을 만족하지 않으며, 평균과 분산이 시간에 따라 변화한다. 이러한 비정상 시계열 데이터는 차분(Differencing)을 통해 정상성을 만족하도록 변환할 수 있다.
공적분은 다음과 같은 세 가지 조건을 만족해야 한다.
- 두 개 이상의 시계열 데이터가 모두 비정상성을 갖는 경우 (단위근을 가짐).
- 시계열 데이터들을 차분하면 정상성을 갖는 경우.
- 시계열 데이터들의 선형 조합이 정상성을 갖는 경우.
만약 두 시계열 데이터가 공적분 관계에 있다면, 이 두 변수는 장기적으로 평형 관계를 유지하며, 한 변수가 다른 변수로 회귀할 때 오차의 크기가 일정한 범위 내에서 유지된다.
공적분 관계를 확인하는 방법 중 하나는 Engle-Granger 검정이다. 먼저 두 변수 사이의 장기적인 선형 관계를 추정한 다음, 이 선형 관계의 잔차를 분석하여 정상성을 확인한다. 만약 잔차가 정상성을 만족하면, 두 시계열 데이터는 공적분 관계에 있다고 볼 수 있다.
또 다른 방법은 Johansen 검정이다. Johansen 검정은 공적분 차수를 결정하는 데 사용되며, 시계열 데이터들 간의 여러 공적분 벡터를 동시에 고려할 수 있다. 이 검정은 최대 우도(maximum likelihood) 방법을 사용하여 공적분 관계를 추정한다.
