대각화(Diagonalization)

행렬의 대각화(diagonalization)는 주어진 행렬을 대각 행렬과 그 행렬의 고유벡터로 이루어진 행렬의 곱으로 분해하는 과정이다. 대각화가 가능한 행렬은 대각 행렬로 유사 변환(similarity transformation)할 수 있으며, 이러한 행렬을 대각화 가능(diagonalizable)하다고 한다.

행렬 $A$가 $n$ x $n$ 크기의 정방행렬이고, 이 행렬의 $n$개의 선형 독립인 고유벡터가 존재한다고 가정해 본다면, 행렬 $A$는 다음과 같이 대각화할 수 있다.

 

$A = P D P^{-1}$

 

여기서

• $A$는 주어진 $n$ x $n$ 크기의 정방행렬이다.
• $P$는 $A$의 고유벡터들로 구성된 $n$ x $n$ 크기의 정방행렬이다.
• $D$는 $A$의 고유값들을 대각선 원소로 하는 $n$ x $n$ 크기의 대각행렬이다.
• $P^{-1}$는 $P$의 역행렬이다.

대각화는 여러 가지 계산을 용이하게 하며, 특히 행렬의 거듭제곱, 행렬 함수 등의 계산에 효율적이다. 행렬 A를 대각화하면 거듭제곱을 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어, $A^k$은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$A^k = P D^k P^{-1}$

 

모든 정방행렬이 대각화 가능한 것은 아니며, 대각화 가능한지 여부는 고유벡터의 선형 독립성에 따라 달라진다.