기저(Basis)는 벡터 공간의 구조를 설명하는 데 사용되는 중요한 개념이다. 기저는 선형 독립인 벡터들의 집합으로 구성되며, 이 기저를 통해 벡터 공간의 모든 벡터를 생성할 수 있다. 기저의 개수가 벡터 공간의 차원을 결정한다. 기저를 이해하려면 다음과 같은 성질을 충족하는 벡터들의 집합을 찾아야 한다. 선형 독립성(Linearly independent) 기저 벡터들은 서로 선형 독립이어야 한다. 이는 어떤 기저 벡터도 다른 기저 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 없다는 것을 의미한다. $\text{If } c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0 \text{, then } c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$ 생성(Span) 기저 벡터들은 벡터 공간의 모든 벡터를 생성..

선형 독립(Linear Independence)과 선형 종속(Linear Dependence)은 벡터들이 서로 어떤 관계에 있는지를 나타내는 개념이다. 이 개념들은 기저, 차원, 벡터 공간 등과 같은 선형 대수학의 중요한 주제들과 관련이 있다. 먼저, 선형 조합(Linear Combination)의 개념을 이해해야 한다. 벡터들의 선형 조합은 각 벡터에 스칼라를 곱한 후 더하는 것을 의미한다. 예를 들어, 벡터들 $v_1, v_2, ..., v_n$에 대해 스칼라 값들 $c_1, c_2, ..., c_n$을 곱하고 더한 것은 다음과 같다. $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n$ 선형 독립(Linear Independence) 벡터들이 선형 독립이라는 것은 이 벡터들이 서로 선형 관계에..

스칼라(Scalar): 스칼라는 크기만을 가지고 방향이 없는 값을 말한다. 일반적인 숫자를 예로 들 수 있으며, 실수, 정수, 복소수 등이 스칼라에 해당한다. 스칼라는 기호로 표기할 수 있으며, 예를 들어, $a$와 같이 표기할 수 있다. 벡터(Vector): 벡터는 크기와 방향을 모두 가지고 있는 값이다. 벡터는 n차원 공간의 점으로 표현되며, 각 차원에 해당하는 스칼라 값을 요소로 가진다. 벡터는 열(column) 또는 행(row)으로 표현될 수 있으며, 일반적으로 열 벡터를 사용한다. 벡터는 굵은 소문자 기호로 표기할 수 있으며, 예를 들어, $\textbf{v}$와 같이 표기할 수 있다. n차원 벡터의 표기는 다음과 같다. \(\textbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2..

기술통계에서 데이터의 모양(Shape)은 데이터 분포의 특성을 나타내는 중요한 요소다. 데이터의 모양은 주로 대칭성, 왜도, 첨도 등의 지표를 사용하여 설명된다. 대칭성(Symmetry): 분포의 대칭성은 데이터가 평균을 중심으로 얼마나 대칭적으로 분포하고 있는지를 나타낸다. 대칭 분포에서는 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 일치한다. 대표적인 대칭 분포로는 정규분포가 있다. 분포가 대칭이 아닌 경우 왜도를 통해 분포의 비대칭 정도를 측정할 수 있다. 왜도(Skewness): 왜도는 분포의 비대칭 정도를 나타내는 지표로, 분포가 평균을 중심으로 어느 방향으로 치우쳐 있는지를 설명한다. 왜도가 0이면 분포가 대칭이다. 왜도가 양수인 경우(양의 왜도), 분포는 왼쪽으로 치우쳐져 있으며, 음수인 경우(음의 왜도)..

기술 통계에서 산포도(Dispersion)는 데이터 값들이 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 지표다. 산포도를 이해하면 데이터의 변동성을 파악할 수 있으며, 이를 통해 데이터의 안정성과 신뢰성을 평가할 수 있다. 주요 산포도 지표로는 범위, 분산, 표준편차, 사분위간 범위가 있다. 범위 (Range): 범위는 데이터셋에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이로 계산된다. 범위는 산포도를 나타내는 가장 간단한 지표이지만, 이상치(Outlier)에 매우 민감하며 데이터셋의 모든 값을 고려하지 않기 때문에 한계가 있다. $\text{Range} = \max(x) - \min(x)$ 분산 (Variance): 분산은 각 데이터 값과 평균 간 차이를 제곱한 값들의 평균이다. 분산은 데이터 값이 평균 주변에 얼마나 퍼져..

중심 경향치(Central Tendency)는 데이터의 중심을 나타내는 값으로, 일반적으로 평균, 중앙값, 최빈값이 이에 해당한다. 평균(Mean): 평균은 모든 데이터 값의 합을 데이터의 개수로 나눈 값이다. 기호로는 ${\mu}$ 또는 $\bar{x}$로 표현된다. 데이터의 전체적인 경향을 파악하는 데 가장 널리 사용되는 중심 경향성이다. 그러나 평균은 이상치(Outlier)에 민감하게 반응할 수 있어, 이상치가 있는 경우 다른 중심 경향치 지표를 고려해야 할 수 있다. $\mu = \frac{\sum x}{n} \quad \text{또는} \quad \bar{x} = \frac{\sum x}{n}$ 여기서 $\sum x$는 모든 데이터 값의 합이고, $n$은 데이터의 개수이다. 중앙값(Median)..

기술통계(Descriptive Statistics) 기술통계는 데이터를 요약하고 설명하는데 사용되는 통계적 방법이다. 주요 개념은 다음과 같다. 중심 경향치(Central Tendency): 데이터의 중심을 나타내는 지표로 평균, 중앙값, 최빈값이 있다. 산포도(Dispersion): 데이터의 퍼짐 정도를 나타내는 지표로 범위, 분산, 표준편차, 사분위수 등이 있다. 모양(Shape): 데이터 분포의 형태를 나타내는 지표로 왜도(Skewness, 비대칭도)와 첨도(Kurtosis, 뾰족함) 등이 있다. 데이터 분석에서 기술통계의 중요성: 데이터 요약: 기술통계는 대량의 데이터를 몇 가지 요약 통계량으로 축소하여, 데이터의 전반적인 특성을 쉽게 파악할 수 있게 해준다. 이를 통해 데이터의 중심 위치, 퍼짐..

미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 말하며, 이와 반대되는 개념은 여러 변수에 대한 함수를 편미분 하는 형식을 취하는 편미분 방정식(Partial Differential Equation, PDE)이라고 한다. 선형 상미분 방정식(Linear Ordinary Differential Equation) ${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$ 제차 선형 상미분 방정식(Homogeneous Linear Ordinary Differential Equation): 위의 식에서 초항 $r(x) = 0$인 경우 비제차 선형 상미분 방정식(Non-homogeneous Linear Ordinary Dif..