스칼라(Scalar), 벡터(Vector), 행렬(Matrix), 텐서(Tensor)

• 스칼라(Scalar): 스칼라는 크기만을 가지고 방향이 없는 값을 말한다. 일반적인 숫자를 예로 들 수 있으며, 실수, 정수, 복소수 등이 스칼라에 해당한다. 스칼라는 기호로 표기할 수 있으며, 예를 들어, $a$와 같이 표기할 수 있다.

 

• 벡터(Vector): 벡터는 크기와 방향을 모두 가지고 있는 값이다. 벡터는 n차원 공간의 점으로 표현되며, 각 차원에 해당하는 스칼라 값을 요소로 가진다. 벡터는 열(column) 또는 행(row)으로 표현될 수 있으며, 일반적으로 열 벡터를 사용한다. 벡터는 굵은 소문자 기호로 표기할 수 있으며, 예를 들어, $\textbf{v}$와 같이 표기할 수 있다. n차원 벡터의 표기는 다음과 같다.

 

$\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$

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• 행렬(Matrix): 행렬은 스칼라 값을 2차원 형태로 배열한 것이다. 행렬은 행(row)과 열(column)로 구성되어 있으며, 이를 통해 다차원 벡터를 나타낼 수 있다. 행렬은 대문자 기호로 표기할 수 있으며, 예를 들어, $A$와 같이 표기할 수 있다. m x n 크기의 행렬의 표기는 다음과 같다.

 

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$
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• 텐서 (Tensor): 텐서는 스칼라, 벡터, 행렬을 일반화한 다차원 배열이다. 텐서는 n차원 공간에서 값을 나타내며, 여러 차원으로 구성된다. 텐서는 굵은 대문자 기호로 표기할 수 있으며, 예를 들어, $\textbf{T}$와 같이 표기할 수 있다. 텐서는 숫자가 아닌 인덱스를 사용하여 요소에 접근할 수 있다. 예를 들어, 3차원 텐서는 다음과 같이 표기할 수 있다.

 

$\mathbf{\text{T}}=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{t}_{111}& t_{112}& \cdots & t_{11n}\\ t_{121}& t_{122}& \cdots & t_{12n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ t_{1m1}& t_{1m2}& \cdots & t_{1mn}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}{t}_{211}& t_{212}& \cdots & t_{21n}\\ t_{221}& t_{222}& \cdots & t_{22n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ t_{2m1}& t_{2m2}& \cdots & t_{2mn}\end{array}\right]\\ ⋮\\ \left[\begin{array}{cccc}{t}_{k11}& t_{k12}& \cdots & t_{k1n}\\ t_{k21}& t_{k22}& \cdots & t_{k2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ t_{km1}& t_{km2}& \cdots & t_{kmn}\end{array}\right]\end{array}\right]$
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여기서 k는 텐서의 깊이를 나타내는 차원이다. 텐서는 다양한 차원을 가질 수 있으며, 각 차원을 축(axis)라고 한다. 텐서는 선형대수, 머신러닝, 딥러닝 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 딥러닝에서는 다차원 데이터를 다루기 위해 자주 사용된다.