ARCH(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 모델

ARCH(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 모델은 시계열 데이터의 변동성을 분석하기 위한 통계적 모델 중 하나다. 이 모델은 금융 시계열 데이터와 같이 변동성 클러스터링이 존재하는 경우, 즉 일정 기간 동안 변동성이 높거나 낮게 유지되는 현상을 설명하고 예측하는 데 유용하다.

ARCH 모델의 기본 아이디어는 현재 시점의 분산이 과거의 오차항 제곱에 의존한다는 가정이다. $ARCH(p)$ 모델은 다음과 같이 표현된다.

 

$y(t) = μ + ε(t)$

$ε(t) = σ(t) * z(t)$

$σ²(t) = α₀ + α₁ * ε²(t-1) + ... + α_p * ε²(t-p)$

 

여기서 $y(t)$는 $t$ 시점의 관측값, $μ$는 상수항, $ε(t)$는 $t$ 시점의 오차항, $σ(t)$는 $t$ 시점의 변동성, $z(t)$는 백색잡음(white noise)을 나타낸다. $α₀, α₁, ..., α_p$는 모델의 계수이며, $p$는 자기 회귀 차수를 나타낸다.

 

ARCH 모델 구축 및 분석 과정은 다음과 같다.

1. 데이터 탐색: 시계열 데이터의 패턴, 추세, 계절성, 이상치 등을 확인한다.
2. 데이터 전처리: 결측치 처리 및 이상치 제거를 수행한다.
3. 변동성 클러스터링이 존재하는지 확인하고, ARCH 모델의 적용 여부를 결정한다.
4. ACF(Autocorrelation Function) 및 PACF(Partial Autocorrelation Function) 그래프를 분석하여 $p$ 차수를 결정한다.
5. $ARCH(p)$ 모델을 구축하고, 데이터를 학습시킨다.
6. 모델의 성능을 평가하고, 필요한 경우 파라미터를 조정하여 최적의 모델을 찾는다.
7. 최적의 ARCH 모델을 사용하여 미래 시점의 변동성을 예측한다.

ARCH 모델의 한계

• 비대칭성 반영 불가: ARCH 모델은 positive shocks와 negative shocks 사이의 차이를 반영하지 못한다. 이를 GARCH(Generalized ARCH) 모델로 개선할 수 있다.
• 선형 가정: ARCH 모델은 선형적인 변동성 패턴을 가정하므로, 비선형 패턴을 가진 변동성에 대해서는 예측 성능이 떨어질 수 있다. 이를 개선하기 위해 다양한 비선형 변동성 모델이 존재한다. 예를 들어, EGARCH(Exponential GARCH), TGARCH(Threshold GARCH) 등의 모델은 positive shocks와 negative shocks의 비대칭 효과를 반영할 수 있다.
• 복잡한 모델 구조: ARCH 모델의 차수가 높아질수록 모델의 복잡도가 증가하고, 과적합(overfitting) 문제가 발생할 가능성이 높아진다. 이를 해결하기 위해 GARCH 모델과 같은 단순화된 모델 구조를 사용하거나, 차원 축소(dimension reduction) 기법을 적용할 수 있다.