푸리에 변환(Fourier Transform)은 시간 영역에서 주파수 영역으로 데이터를 변환하는 과정이다. 이 변환을 통해 시계열 데이터의 주기적 성분을 분석하거나 노이즈를 제거하는 데 사용할 수 있다. 푸리에 변환은 연속 푸리에 변환(Continuous Fourier Transform)과 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform)으로 나뉜다. 시계열 데이터는 이산 시간 데이터이므로 이산 푸리에 변환을 사용한다.
이산 푸리에 변환(DFT)의 공식은 다음과 같다.
$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-i\frac{2\pi}{N}nk}$
여기서 $X(k)$는 푸리에 변환된 주파수 영역에서의 데이터를 나타내며, $x(n)$은 시간 영역에서의 시계열 데이터다. $N$은 데이터의 길이를 의미하고, $i$는 복소수 단위를 나타낸다. 이 공식은 시간 영역의 데이터를 주파수 영역으로 변환하는 것을 나타낸다.
이산 푸리에 변환의 역변환(역이산 푸리에 변환, IDFT)을 사용하면 주파수 영역의 데이터를 다시 시간 영역으로 변환할 수 있다. 역이산 푸리에 변환 공식은 다음과 같다.
$x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{i\frac{2\pi}{N}nk}$
이 공식을 통해 주파수 영역에서의 처리를 마친 데이터를 다시 시간 영역으로 변환할 수 있다. 이러한 이산 푸리에 변환을 빠르게 계산하는 알고리즘인 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform, FFT)도 널리 사용된다.
연속 푸리에 변환(Continuous Fourier Transform, CFT)은 연속 시간 신호를 주파수 영역으로 변환하는 방법이다. 연속 시간 신호는 시간에 대해 연속적인 값을 가지므로, 푸리에 변환의 공식도 적분을 사용하여 표현된다. 연속 푸리에 변환(CFT)의 공식은 다음과 같다.
$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$
여기서 $F(\omega)$는 주파수 영역에서의 변환된 데이터를 나타내며, $f(t)$는 시간 영역에서의 연속 시간 신호다. $\omega$는 각주파수를 의미하고, $i$는 복소수 단위를 나타낸다.
연속 푸리에 변환의 역변환(역연속 푸리에 변환)을 사용하면 주파수 영역의 데이터를 다시 시간 영역으로 변환할 수 있다. 역연속 푸리에 변환 공식은 다음과 같다.
$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$
연속 푸리에 변환은 연속 시간 신호에 대한 주파수 영역 분석에 사용되며, 주기적 성분 및 노이즈 제거 등에 활용할 수 있다.
