결합 확률(Joint Probability)은 두 개 이상의 확률 변수가 동시에 어떤 특정 값을 가질 확률을 나타낸다. 결합 확률은 이산 확률 변수와 연속 확률 변수 모두에 대해 정의할 수 있다.
이산 확률 변수의 결합 확률
두 이산 확률 변수 $X$와 $Y$에 대한 결합 확률은 각 변수가 동시에 특정 값을 가질 확률을 나타낸다. $P(X = x_i, Y = y_j)$는 $X = x_i$와 $Y = y_j$가 동시에 발생할 확률을 의미한다.
$P(X = x_i, Y = y_j)$
연속 확률 변수의 결합 확률
두 연속 확률 변수 $X$와 $Y$에 대한 결합 확률은 결합 확률 밀도 함수(joint probability density function, $f_{XY}(x, y)$)를 사용하여 정의된다. 두 변수가 동시에 특정 구간 내에서 값을 가질 확률은 결합 확률 밀도 함수를 해당 구간에 대해 적분한 값으로 계산할 수 있다.
$P(a \le X \le b, c \le Y \le d) = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f_{XY}(x, y) dx dy$
결합 확률은 여러 확률 변수 간의 관계를 설명하고 분석하는 데 사용되며, 조건부 확률, 마르코프 체인, 베이즈 추론 등과 같은 다양한 확률 이론 및 통계 분야의 기초가 된다.
