중심 극한 정리(Central Limit Theorem, CLT)는 통계학에서 아주 중요한 정리로, 독립적이고 동일한 확률 분포를 따르는 임의의 확률 변수들의 합이나 평균이 정규 분포에 가까워지는 현상을 설명한다. 이 정리는 대량의 데이터를 처리하거나 큰 모집단에서 표본을 추출할 때 매우 유용하게 사용된다.
중심 극한 정리를 수식으로 표현하면 다음과 같다. 독립적인 확률 변수들 $X_1, X_2, ..., X_n$이 평균 $\mu$와 분산 $\sigma^2$인 동일한 확률 분포를 따를 때, 표본 크기 $n$이 충분히 클 경우, 표본 평균 $\bar{X}$의 분포는 평균이 $\mu$이고 분산이 $\frac{\sigma^2}{n}$인 정규 분포에 근사하게 된다.
$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$
표준화된 형태로 나타내면 다음과 같다.
$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$
여기서 $Z$는 표준 정규 분포를 따른다(평균이 0이고 분산이 1인 정규 분포). 중심 극한 정리는 실제로 많은 통계 분석과 추론에서 기본 가정으로 사용되며, 특히 모집단의 분포에 대한 정보가 없거나 제한적일 때 유용하다.
