기댓값(expectation)은 확률 분포를 사용하여 확률 변수의 평균값을 계산한 것이다. 기댓값은 여러 가능한 결과에 대한 확률에 따라 가중치를 부여하여 평균을 계산한다. 기댓값은 이산 확률 변수와 연속 확률 변수에 대해 다음과 같이 계산할 수 있다.
이산 확률 변수의 기댓값
확률 변수 $X$가 이산적인 경우, 기댓값 $E(X)$는 각 가능한 결과 $x_i$에 대한 확률 $P(x_i)$에 따라 가중치를 부여한 합계로 계산된다.
$E(X) = \sum_{i} x_i P(x_i)$
연속 확률 변수의 기댓값
확률 변수 $X$가 연속적인 경우, 기댓값 $E(X)$는 확률 밀도 함수 $f(x)$를 사용하여 가중치를 부여한 적분으로 계산된다.
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$
기댓값은 확률 분포의 중심 위치를 나타내는 척도로 사용되며, 예측, 의사결정, 위험 평가 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한, 기댓값은 분산이나 공분산과 같은 다른 통계량을 계산하는 데 기반이 된다.
