이산 확률 분포(discrete probability distribution)는 이산 확률 변수의 값들이 나타날 확률을 설명하는 함수다.
PMF, Probability Mass Function(확률질량함수)
주요한 이산 확률 분포는 아래와 같다.
베르누이 분포(Bernoulli distribution)
두 가지 결과만 가능한 확률변수의 분포(ex. 동전 던지기)
PMF
$P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k},\ \text{where } k \in \{0, 1\}$
이항 분포(Binomial distribution)
독립적인 베르누이 시행에서 성공한 횟수에 대한 확률변수의 분포
PMF
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},\ \text{where } k \in \{0, 1, \dots, n\}$
포아송 분포(Poisson distribution)
단위 시간 또는 공간에서 독립적으로 발생하는 사건의 횟수에 대한 확률변수의 분포
PMF
$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\ \text{where } k \in \{0, 1, 2, \dots\}$
기하 분포(Geometric distribution)
처음 성공할 때까지 독립적인 베르누이 시행의 횟수에 대한 확률변수의 분포
PMF
$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p,\ \text{where } k \in \{1, 2, 3, \dots\}$
음이항 분포(Negative Binomial distribution)
성공한 횟수가 $r$이 될 때까지 독립적인 베르누이 시행의 횟수에 대한 확률변수의 분포
PMF
$P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r},\ \text{where } k \in \{r, r+1, r+2, \dots\}$
위의 각 이산 확률 분포가 쓰이는 예시는 다음과 같다.
이항 분포는 시행 횟수 $n$과 성공 확률 $p$를 알고 있을 때, 성공한 횟수 $k$에 대한 확률을 구할 수 있다. 이를 통해 품질 관리, 마케팅 실험, 설문조사 등 다양한 분야에서 이항 분포를 활용할 수 있다.
포아송 분포는 평균 발생률 $\lambda$를 알고 있을 때, 특정 시간 또는 공간에서 발생하는 사건의 횟수 $k$에 대한 확률을 구할 수 있다. 이를 통해 고객 서비스, 자연재해, 전화 통화량 등 다양한 분야에서 포아송 분포를 활용할 수 있다.
기하 분포와 음이항 분포는 베르누이 시행과 관련된 문제에서 주로 활용되며, 처음 성공이 발생하는 시점이나 특정 횟수의 성공이 발생할 때까지 시행 횟수에 관심이 있는 경우에 사용된다.
이산 확률 분포들은 각각의 확률질량함수를 이용해 확률을 계산하며, 누적 분포 함수를 통해 구간 내 확률을 구할 수도 있다. 이산 확률 분포를 이해하고 활용하면 현실 세계의 다양한 문제를 효과적으로 해결할 수 있다.
