확률질량함수(Probability Mass Function, PMF)와 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)

확률질량함수(Probability Mass Function, PMF)와 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)는 확률 분포를 설명하는 데 사용되는 함수다. 이 두 함수는 이산 확률변수와 연속 확률변수를 나타내는 데 각각 사용된다.

 

확률질량함수

이산 확률변수에서 각 값을 가질 확률을 나타내는 함수다. 확률질량함수는 확률변수가 취할 수 있는 이산적인 값들에 대해 해당 값이 발생할 확률을 제공한다. 모든 확률값이 0과 1 사이이며, 모든 가능한 값에 대한 확률의 합이 1이다. 예를 들어, 동전 던지기를 생각해보면 이산 확률변수 $X$가 앞면이 나올 때 1, 뒷면이 나올 때 0이라고 할 수 있다. 이 때 확률질량함수는 다음과 같다.

 

$P(X = 0) = 0.5$

$P(X = 1) = 0.5$

 

 

확률밀도함수

연속 확률변수에서 값의 확률분포를 나타내는 함수다. 연속 확률변수의 경우, 특정 값에 대한 확률을 정의할 수 없기 때문에 확률밀도함수를 사용해 값의 범위에 대한 확률을 계산한다. 확률밀도함수의 값 자체는 확률이 아니며, 특정 구간에 대한 확률은 확률밀도함수를 해당 구간에서 적분한 값으로 구한다. 확률밀도함수의 함수값은 음수가 아니며, 확률변수가 취할 수 있는 모든 값에 대한 확률밀도함수의 적분 값은 1이다.
예를 들어, 표준 정규 분포를 따르는 연속 확률변수 $Z$의 확률밀도함수는 다음과 같다.

 

$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2} z^2 }$

 

이 때, $Z$가 -1과 1 사이의 값을 가질 확률은 PDF를 해당 구간에서 적분하여 구한다.

 

$P(-1 \le Z \le 1) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2} z^2 } dz$